Función Logarítmica

¿Qué es un logaritmo?

Es la función inversa de la función exponencial de base a, de manera que el numero y tal que ay = x, recibe el nombre de logaritmo, en base a del numero "X"

El concepto de logaritmo se debe al suizo Jorst Bürgi y su nombre tiene un significado muy explicativo: logaritmo significa “número para el cálculo”. El escocés John Napier(en la foto) enseguida lo aprovechó para publicar en 1614 su obra “Mirifici logaithmorum canonis descriptio” (descripción de la maravillosa regla de los logaritmos) con las primeras tablas de logaritmos para el seno y el coseno de un ángulo a intervalos de 1’ y con siete cifras. Pero veamos cuál fue su genial idea.

La idea clave: trabajar con los exponentes de potencias es más fácil

Veámoslo, observando la tabla de las 30 primeras potencias de 2 (desde 2⁰ hasta 2²⁹):

2⁰ = 1         2¹ = 2       2² = 4            2³ = 8          2⁴ = 16

2⁵ = 32       2⁶ = 64     2⁷ = 128        2⁸ = 256       2⁹ = 512

2¹⁰ = 1024                  2¹¹ = 2048               2¹² = 4096   

2¹³  = 8192                 2¹⁴ = 16384             2¹⁵ = 32768          

2¹⁶ = 65536                2¹⁷= 131072            2¹⁸ = 262144  

2¹⁹ = 524288              2²⁰= 1048576          2²¹ = 2097152        

2²² = 4194304            2²³ = 8388608          2²⁴ = 16777216

2²⁵ = 33554432          2²⁶ = 67108864         2²⁷ = 134217728

2²⁸  = 268435456        2²⁹  = 536870912

Ahora calculamos:  

 32768 · 16384 = 2¹⁵ · 2¹⁴ = 2¹⁵⁺¹⁴ =  2²⁹= 536870912

 268435456 : 1048576 = 2²⁸ : 2²⁰= 2^28-20 = 2⁸ = 256    

 512³ =  (2⁹)³ = 2^9·3 = 2²⁷  = 134217728 

 p67108864 =  p2²⁶ = 2^26:2 = 2¹³  = 819         

Propiedades:

Propiedad: Si  a  es un número positivo distinto de 1, cualquier número real positivo N se puede expresar como potencia de  a con un exponente racional  x .   N = a ^x

Esta forma de escribir un número  N  se dice que es su notación potencial o logarítmica.

 El logaritmo en base  a  de un número  N  es el exponente al que hay que elevar la base  a  para que dé dicho número.           

N = a ^x  < === >   x = log _a N 

De todas las bases posibles, para los logaritmos se usa preferentemente la base 10. Así, los logaritmos en base 10 se llaman logaritmos decimales y se representan sin necesidad de escribir la base.

log x  = log ₁₀  x 

1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

Ejemplo 

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:

Ejemplo 

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:

Ejemplo 

4.El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:

Ejemplo 

5. Cambio de base:

Ejemplo 

Cálculos con las tablas logarítmicas:

                 

A partir de la publicación de las tablas de logaritmos, la forma práctica de proceder ante cálculos complicados era ésta:  Si había que calcular, por ejemplo,    ⁵p 45.876.112

Primero se buscaba en las tablas:          log 45.876.112  = 7,6615866

Entonces:         ⁵p 45.876.112 = ⁵p 10 ^7,6615866 = 10 ^{7,6615866 / 5} = 10 ^1,5323173

Y ya sólo faltaba conocer esa potencia, lo cual también se obtiene en las tablas de logaritmos: se le llamaba  antilogaritmo.

10 ^1,5323173 = 34,065699  (comprueba en tu calculadora que ,    ⁵p 45.876.112 = 34,065699)

Hallar el logaritmo consiste en hallar el exponente de la potencia, conocido el resultado. Hallar el antilogaritmo era el proceso inverso: conocido el resultado, hallar el exponente de la potencia.

Los logaritmos en la calculadora

En particular, podemos obtener logaritmos decimales en la calculadora, con la tecla  log     

Para conocer logaritmos en cualquier otra base, basta aplicar esta fórmula de conversión:

 log _a x = log x / log a 

Aproximación de logaritmos entre dos enteros

Aproximando un número con potencias, por defecto y por exceso, se puede aproximar su logaritmo. Por ejemplo: 

Si buscamos   log ₂ 13 :   8 < 13 < 16   à  2 ³ < 13 < 2 ⁴  à   3 < log ₂ 13< 4

Si buscamos   log 0,010 :   0,010 < 0,057 < 0,100   à  10 ^-2 < 0,057 < 10 ^-1  à   -2 < log  0,057< -1

Propiedades de los logaritmos

Como consecuencias de la definición de logaritmo: 

                                                          

Las cuatro últimas propiedades encierran la utilidad de los logaritmos: trabajando con exponentes, el producto se convierte en suma; el cociente, en diferencia; la potencia, en producto; y la raíz en cociente. Todas las operaciones se transforman en otra más sencilla.

Logaritmos neperianos

Si se adoptó la base de logaritmos decimal fue por analogía con nuestro sistema de numeración, basado en los dedos de las manos. Pero, después de estudiar diversos fenómenos de crecimiento y decrecimiento en la Naturaleza (por ejemplo: aumento de una población de bacterias, desintegración radiactiva, etc.), se observó que una y otra vez aparecían las potencias de un número irracional al que se llamó el “ número e ”:

 

Para estudiar esos fenómenos son muy útiles los logaritmos cuya base es el número  e , llamados logaritmos neperianos  en honor de John Neper.  Se representan así:   ln x = log _e x  .

Aplicaciones de los logaritmos

Los logaritmos hoy ya no son necesarios para hacer grandes cálculos; gracias a la microelectrónica es posible hacerlos de forma instantánea con la calculadora o el ordenador. Sin embargo, durante siglos de uso, los logaritmos dejaron su huella en las Matemáticas y aún hoy es necesario que los conozcas; pero ahora ya no para calcular, sino para utilizarlos como concepto asociado a muchas situaciones. En particular, son útiles las escalas logarítmicas (entre ellas, la Escala de Richter).